Durante muito tempo, aprendemos a enxergar computadores como máquinas perfeitas, capazes de calcular, prever e resolver praticamente qualquer problema de maneira precisa e rápida, dependendo somente de seu poder de processamento bruto. Desde o fluxo em grandes cidades até o comportamento de partículas, parece sempre haver um algoritmo capaz de prever a evolução de sistemas, independentemente de quão complexos sejam. Mas existe um detalhe curioso, quase incômodo: na verdade nem tudo pode ser resolvido, somente uma fração infinitesimal de todos os problemas possíveis são resolvíveis por meio de máquinas. E isso não ocorre por serem problemas cujo tempo de solução seja demasiado grande, ou por serem altamente complexos, mas acontece devido a uma impossibilidade fundamental no sistema lógico da computação.

Mesmo em meio ao rápido avanço de modelos generativos e às promessas cada vez mais ousadas da computação moderna, a matemática aponta para um limite menos visível, porém muito mais profundo. Há problemas que simplesmente escapam de qualquer tentativa de solução automática, mas não significa que não são problemas difíceis, mas sim inacessíveis por definição. Além de ser somente uma curiosidade teórica, esse tipo de limitação mostra uma característica intrínseca da própria lógica que sustenta a computação.

Tal história inicia-se com o matemático Alan Turing que, na década de 1930, visando comprovar a decidibilidade de um sistema axiomático, criou o conceito teórico de computador moderno, o qual ficou conhecido como “Máquina de Turing”. Ele então, por meio da pesquisa teórica, investigou os limites da “computação” (no sentido estrito da palavra, referindo-se ao ato de computar) como base dos computadores modernos, os quais nada mais são que máquinas extremamente eficientes em computar. Ou seja, Turing investigou os limites do próprio ato de computar, sendo estes não relacionados à potência ou desempenho da máquina que calcula.

Durante essa análise, o matemático percebeu a existência de problemas computacionais relacionados intrinsecamente à tese da decidibilidade da matemática, os quais poderiam ser matematicamente impossíveis de serem resolvidos algoritmicamente. Um exemplo é o “Problema da parada”.

Este problema pode ser enunciado de maneira simples: “é possível construir um programa/algoritmo capaz de analisar qualquer outro programa X e uma entrada qualquer e, desse modo, indicar se a execução de X com esse input qualquer termina sua execução ou entra em loop infinito?”.

Turing provou que esse problema é impossível utilizando uma lógica elementar: “Se fosse possível criar um programa ‘decisor’, capaz de analisar outros códigos, poderíamos construir um programa ‘malicioso’ que pergunta ao decisor: ‘eu vou parar?’. Se o decisor disser que ele vai parar, o programa entra em um loop infinito. Se o decisor disser que ele vai entrar em loop, o programa para imediatamente, levando a uma contradição lógica incontornável.”

Parece estranho imaginar que um programa não pode prever se outro programa entra em loop ou para. Mas, no cotidiano, podemos observar tal fato ao utilizar um computador comum quando, por exemplo, um software demora muito tempo em sua execução e o sistema operacional exibe uma mensagem alertando que “o programa não está respondendo”. Percebe-se que o aviso não diz se o programa falhou ou se ele entrou em loop, sendo apenas um indicativo baseado no tempo de execução para tentar presumir se o software irá ou não entrar em loop e deixar de executar.

Em decorrência da impossibilidade de resolver o “Problema da parada”, como demonstrado por Turing, existem outros problemas impossíveis para uma máquina algorítmica. Possuem esse status como consequência lógica da inexistência de um programa que prevê a parada de outro. Nesse conjunto de problemas temos, por exemplo, o “Problema do programa zero”.

Essa questão, também de enunciado simples, nos questiona o seguinte: “É possível criar um programa capaz de dizer quando outro programa sempre retornará o zero como output independentemente do input?”, ou seja, teria como criar um programa capaz de prever se outro algoritmo somente retorna zero como resposta a qualquer entrada?

Num primeiro momento, parece que os “programas zero”, isto é, os códigos que sempre retornam zero como output, são extremamente simples, porém, é exatamente o contrário. Isso porque, contraintuitivamente, o problema do programa zero é mais difícil comparado ao problema da parada, pois aquele é redutível a este, significando ser possível enxergar o problema da parada como um caso do problema do programa zero. Logo, se fosse possível resolver o problema do programa zero, através de uma redução, seria possível resolver o problema da parada, o que evidentemente é impossível, como provado anteriormente por Turing.

Portanto, o problema da parada serve como uma espécie de contra exemplo do problema do programa zero.

Além dos vistos até aqui, um outro problema impossível e, dessa vez, realmente voltado à programação em código, é o “Problema da equivalência”. Esse tem como questionamento central: “é possível construir um algoritmo capaz de analisar 2 códigos diferentes e determinar se eles são equivalentes?”, em outras palavras, é possível, antes de executar 2 algoritmos, constatar que eles têm os mesmos outputs para os mesmos inputs?

Novamente, este se trata de um problema impossível, pois o problema do programa zero pode ser reduzido como um caso do problema da equivalência, pois, se existisse um algoritmo capaz de constatar a equivalência entre 2 códigos distintos, podemos simplesmente comparar um código qualquer com um programa zero e descobrir se aquele tem o mesmo output deste. Portanto, ao tratar-se de um programa zero – o que sabemos ser de impossível solução – o problema da equivalência também tem de ser.

Essa lógica de redução após redução segue indefinidamente, de modo que seria impossível listar todos os problemas impossíveis num único artigo. Na verdade, seria impossível listá-los mesmo se fosse possível escrever por toda a extensão do universo observável. Seguindo essa ideia e tendo em vista que qualquer programa, de maneira fundamental, pode ser armazenado por meio de uma sequência binária, podemos constatar uma propriedade interessante e um tanto quanto incômoda acerca da possibilidade de resolução de problemas por meio de algoritmos:

Se criássemos um programa que associasse qualquer programa a um número natural por meio de seu código em binário, sendo 2 programas diferentes associados a dois naturais diferentes, teríamos um conjunto de todos os programas possíveis, que é um subconjunto dos naturais.

Logo, mesmo que existam infinitos programas possíveis, esse infinito não ultrapassa o infinito dos naturais, sendo este o menor existente enumerável.

Podemos pensar agora em um último algoritmo, capaz de analisar um programa e constatar se seu número natural associado estaria ou não contido num subconjunto “Y” de naturais quaisquer. Ou seja, para cada subconjunto de números naturais, possuímos um “problema Y” associado. Porém, percebe-se que a quantidade de subconjuntos de números naturais forma um infinito de classe superior ao infinito dos naturais. Logo, como a quantidade de “problemas Y” é infinitamente maior que a de programas possíveis, existem infinitos problemas impossíveis de se resolver algoritmicamente. Dessa forma, dado um problema qualquer, a probabilidade de ser possível resolvê-lo algoritmicamente é 0 – não confundir com “ser impossível”, pois somente sua probabilidade de ocorrência é zero.

No fim das contas, os problemas que os computadores podem resolver representam uma parcela desprezível do total de problemas que a mente humana é capaz de imaginar. A maioria das tarefas, em quase sua totalidade, jamais poderá ser desempenhada por uma máquina algorítmica.

Isso mostra que a capacidade de raciocínio da mente humana encontra-se num patamar superior em relação ao raciocínio computacional, de modo que máquinas nunca poderão substituir por completo o gênio humano.

Referências:

NUNES D. Problemas que COMPUTADORES JAMAIS RESOLVERÃO 2023. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=J-zC3w5iSgk&list=PLrTXbe8zS4r-vKn8uABwVYjs0v1j7fhQT&index=16

O fazer matemática é um processo vivo, em constante evolução, onde problemas novos são propostos e resolvidos todos os dias pelas mais brilhantes mentes que o mundo tem a oferecer. Mas, de vez em quando, surgem alguns problemas diferentes dos outros, que irão desafiar a mente dos matemáticos por décadas ou até mesmo séculos por vir.

Um dos problemas mais famosos já propostos é tão notório e tão difícil que entra numa categoria própria: a Hipótese de Riemann.

Proposta em 1859, esta conjectura, palavra que significa algo como “chute bem fundado”, diz que todos os zeros de uma função muito particular (a famosa função zeta de Riemann) estão ou numa linha específica ou nos pares negativos. A sua descrição formal é demasiadamente complexa para incluir neste artigo, mas, por sorte, existem diversas outras formulações equivalentes — isto é, dadas duas formulações, uma é verdade se e somente se a outra for também, portanto, podem ser pensadas como duas formas diferentes de escrever a mesma afirmação — uma delas sendo:

Isso é verdade se e somente se os zeros da função zeta estão exatamente onde Riemann conjecturou, em que π(x) é a função que conta primos (cresce em 1 quando x é primo e é constante caso contrário) e Li(x) é a chamada integral logarítmica, uma função definida em termos da integral de 1/ln(x). Esta formulação da hipótese de Riemann torna explícito o real motivo da sua importância: a Hipótese de Riemann nos diz muito sobre os números primos.

Os números primos são aqueles que possuem como divisores somente o 1 e eles mesmos. Eles são como os átomos dos números naturais, já que qualquer um pode ser expresso como o produto de primos de forma única, resultado conhecido desde a época dos gregos. Por esse motivo, são de suma importância para a área da matemática conhecida como teoria dos números, que trata de perguntas sobre números inteiros, e uma pergunta muito natural é: como os primos se distribuem?

Muitos resultados sobre a distribuição dos primos são conhecidos, o principal sendo o chamado teorema dos números primos, que fala sobre como exatamente eles ficam mais raros conforme crescem. A Hipótese de Riemann, então, é mais um resultado que nos ajudaria a explicar essa distribuição e seria o mais importante, pois, se for verdadeira, significa dizer que os números primos estão, de certa forma, o mais “bem comportados” possíveis.

Já que a hipótese de Riemann nos dá tanta confiança sobre a distribuição dos primos, existem centenas de resultados que seguiriam como consequência imediata dela, então quem quer que a prove, automaticamente terá provado todos eles, trazendo um avanço imensurável à matemática moderna.

Mas se ser lembrado para sempre como uma das pessoas mais importantes da matemática moderna não for o bastante, temos ainda mais um incentivo para tentar resolver este problema. Em 2000, o Clay Mathematics Institute se propôs a pagar prêmios em dinheiro no valor equivalente a 1 milhão de dólares para quem solucionar corretamente qualquer um dos sete problemas em aberto mais importantes da matemática, e, naturalmente, a hipótese de Riemann é um deles.

O problema está em aberto desde o século XIX, e todas as mais brilhantes mentes matemáticas do mundo tentaram e falharam em resolvê-lo desde então. Ele é um dos mais importantes da teoria dos números e nos daria confiança absoluta sobre um dos maiores e mais antigos mistérios sobre os números primos. Aquele que resolvê-lo terá o nome para sempre registrado na história e um prêmio de um milhão de dólares. Vai encarar o desafio?

Referências

1. SCHOENFELD L. Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II, Mathematics of Computation. Disponível em:
https://www.ams.org/journals/mcom/1976-30-134/S0025-5718-1976-0457374-X/S0025-5718-1976-0457374-X.pdf.

2. WEISSTEIN, E. W. Logarithmic Integral, MathWorld-A Wolfram Resource.
Disponível em: https://mathworld.wolfram.com/LogarithmicIntegral.html.

Por trás de muitas das leis invisíveis responsáveis por sustentar a compreensão moderna do universo, existe uma mente que, por muito tempo, permaneceu nas sombras. Em um cenário acadêmico atravessado por barreiras sociais e políticas, a doutora alemã Emmy Noether transformou profundamente a matemática ao revelar conexões elegantes entre simetria e leis de conservação. Com seu trabalho, revolucionou tanto o entendimento físico da conservação de energia quanto campos abstratos da matemática, como a teoria dos anéis e a compreensão algébrica dos números hipercomplexos. Sua trajetória, contudo, não foi marcada apenas por descobertas brilhantes, mas também por portas fechadas, reconhecimento tardio e exclusão.

Nascida na Alemanha, em 1882, Emmy Noether foi filha do respeitado professor de matemática Max Noether — que lecionava na universidade Erlangen — e, contrariando os costumes da época, decidiu seguir para o ensino superior estudar matemática, assim como seu pai. Sendo filha de um dos professores, recebeu permissão especial para assistir às aulas, tornando-se uma dentre as duas únicas mulheres na instituição. Contudo, apesar de sua presença no campus, nunca foi considerada uma aluna oficial, sendo classificada somente como “ouvinte”. Por esse motivo, era sempre necessário pedir autorização aos professores que ministravam o curso para poder assistir às aulas.

Apesar dos obstáculos, Noether graduou-se em 14 de julho de 1903 e optou por seguir seus estudos em campos abstratos da álgebra, levando a conhecer os prestigiosos matemáticos Felix Klein e David Hilbert durante o processo, no inverno de 1904. Somente em 1907, Emmy obteve seu doutorado em matemática pela universidade de Erlangen.

Pelos próximos sete anos (1908–15), ela lecionou na mesma instituição em que obteve seu doutorado, porém, sem pagamento algum, substituindo ocasionalmente seu pai quando ele ficava muito doente para comparecer às aulas em função das sequelas causadas pela poliomielite.

Apesar de estar no mesmo patamar que colegas como Hilbert e Hermann Minkowski, Emmy Noether nunca teve prestígio algum em vida, sendo excluída do meio acadêmico tanto por ser mulher quanto por ser judia, em um momento no qual a guerra estaria prestes a começar em solo europeu.

Nesse contexto, somente em 1915 a Dra. Noether voltou a trabalhar em grandes teorias novamente, sendo convocada por David Hilbert para ir à universidade de Göttingen auxiliar em uma pesquisa. Nela, buscava conciliar as leis de conservação de energia com a mais nova teoria da relatividade apresentada por Albert Einstein naquele mesmo ano.

No entanto, novamente o preconceito do meio acadêmico se sobressaiu e, antes mesmo de Emmy comparecer à instituição, o departamento responsável pela pesquisa objetou sua convocação. Apesar do apoio do próprio David Hilbert, Noether foi impedida de assumir seu cargo como professora em Göttingen, sob a justificativa de que “seria inaceitável para os soldados voltarem à universidade e encontrarem uma mulher dando aulas”.

Sob esse cenário, a Dra. Noether passou 4 anos dando aulas de forma clandestina e sem remuneração na universidade, disfarçando suas aulas sob o nome de Hilbert, colega que apoiou sua brilhante carreira.

Finalmente, em 1919, após a Revolução Alemã decorrente do fim da 1ª Guerra mundial, os direitos femininos foram ampliados e Emmy Noether foi contratada verdadeiramente pela instituição, totalizando mais de uma década de trabalho não remunerado lecionando em universidades alemãs.

Seu trabalho inovador em álgebra começou em 1920, a partir do momento no qual adquiriu o status de professora associada da universidade e teve a possibilidade de trabalhar de forma independente em sua pesquisa. Em colaboração com W. Schmeidler, ela publicou um artigo sobre a teoria dos ideais, no qual definia os ideais à esquerda e à direita em um anel, que só viria a ganhar reconhecimento quando um renomado algebrista, Irving Kaplansky, o chama de “revolucionário”. Esta publicação originou termos de objetos matemáticos (como grupos, anéis, espaços topológicos e diagramas) atualmente qualificados como Noetherianos.

Devido ao seu gosto por elevados níveis de abstração, Emmy decidiu debruçar-se sobre o problema da conservação de energia da relatividade geral, motivo pelo qual ela fora originalmente convocada à Göttingen, de modo a compreender de fato o que significaria qualquer tipo de lei de conservação num sistema físico, tais como a conservação de cargas ou do momento angular.

Para Noether, existia uma íntima relação entre todas as leis de conservação e simetrias fundamentais da natureza. Por exemplo, a validade de um modelo físico ser independente da localização do observador num espaço tridimensional representa um tipo de simetria que, na teoria de Emmy Noether, poderia explicar o porquê do momento linear manter-se inalterado se aplicado a um universo perfeitamente vazio e estático.

Para exemplificar os tipos de simetria que Noether tratava em seu trabalho, imaginemos uma “bolinha”, representada por uma circunferência disposta num sistema de coordenadas qualquer que, para efeitos didáticos, será representado como um sistema cartesiano:

Segundo o teorema de Noether, a translação da figura no espaço bidimensional ilustrado não altera as propriedades do sistema. Logo, o mesmo apresenta uma simetria fundamental relacionada à posição, sendo possível descrever a conservação do momento linear nesse espaço imaginário, pois podemos somente reestruturar o sistema de orientação para que o caso nº 2 se transforme novamente no caso nº 1. Isso ocorre pelo fato do universo ilustrado ser perfeitamente plano e uniformemente estático e, tendo em vista que as propriedades se mantêm, isso gera um looping ilimitado, evidenciando a conservação do momento linear no sistema.

Seguindo o aprofundamento abstrato do fundamento das teorias de conservação, Emmy chega a um resultado e apresenta a nova teoria da conservação de energia aplicada à relatividade geral de Einstein, O espaço relativístico dinâmico e mutável descrito por ele possui uma propriedade intrigante: a simetria temporal é quebrada em função dos efeitos relativísticos e, portanto, não há uma lei universal da conservação de energia nesse sistema. Assim, são válidos os resultados nos quais a energia aparentemente desaparece ou é criada, como por exemplo no movimento cada vez mais acelerado de expansão do universo que, num primeiro momento, parece quebrar as leis de conservação.

Logo, sempre que formulamos uma teoria do mundo que é válida não somente para nosso ponto de vista, mas também para qualquer ponto no espaço, estamos nos comprometendo com uma lei de conservação invariavelmente, e é isso que o teorema desenvolvido por Noether — durante sua estada na universidade de Göttingen — descreve.

Todos os resultados derivados do trabalho de Noether influenciam diretamente campos da física teórica e da álgebra abstrata até hoje, sendo base para teorias contemporâneas, como o modelo padrão de partículas.

Porém, quando finalmente alcançou relativa notoriedade em função da relevância de seu trabalho, as mudanças políticas em decorrência do ascendente fascismo alemão passaram a delinear o futuro de Noether.

A pesquisadora, que até então passou a vida sofrendo preconceito por ser uma mulher no meio acadêmico, passou, agora a também sofrer perseguição institucional em função de sua ascendência judia, fazendo com que fosse dispensada de seu cargo na universidade devido às medidas intensamente antissemitas instituídas como política de Estado pelo mais novo líder nazista alemão: Adolf Hitler.

Rapidamente, Emmy foge da Alemanha e se refugia nos Estados Unidos, recebendo um convite para trabalhar em Princeton, onde iria conviver com Albert Einstein, autor da teoria física que embasou seu trabalho da última década.

O destino, porém, decide novamente se opor a Noether e, em 10 de abril de 1935, Emmy passa por uma cirurgia para remoção de um cisto no ovário que, apesar de simples, custaria sua vida. Durante os três primeiros dias de recuperação da operação, tudo parecia rotineiro, no entanto, no quarto dia, em 14 de abril de 1935, ela caiu inconsciente no chão, com uma febre de 42°C. Morreu aos 53 anos de idade, vítima de uma possível infecção generalizada que atingiu seu sistema nervoso.

Nos meses que se seguiram, tributos escritos começaram a aparecer em todo o mundo: Albert Einstein juntou-se a van der Waerden e Hermann Weyl (autor dos principais métodos matemáticos utilizados na mecânica quântica e amigo pessoal de Emmy) para prestar suas homenagens. Seu corpo foi cremado e as cinzas enterradas sob a passarela ao redor dos claustros da Biblioteca M. Carey Thomas em Bryn Mawr.

Apesar dos anos vividos num ambiente opressor e das diversas humilhações sofridas em função do preconceito estrutural em torno de seu sexo e de sua ascendência judia durante o período entreguerras, Emmy Noether foi uma das mentes mais brilhantes do século XX e produziu resultados inestimáveis tanto para a matemática quanto para a física. Suas contribuições nunca serão esquecidas, sendo impossível ocultar seu gênio da história dos maiores matemáticos que já viveram.

Referências

1. VERITASIUM, The Biggest Misconception in Physics. Disponível em: https://youtu.be/lcjdwSY2AzM?si=BdPmdZUc0GbkVH6z.

2. J. J. O'Connor; E. F. Robertson. Emmy Amalie Noether. Math History Biography. Disponível em: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Noether_Emmy/.

3. EMMY NOETHER: A MAIOR Matemática da História | Teorema de Noether. Tem Ciência. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=nfHXJPNq8Ss.

Para a surpresa de alguns, o zero é um conceito relativamente novo. Foi definido formalmente no século V por Brahmagupta, e só foi popularizado na Europa por Fibonacci, no século XIII. Apesar de várias civilizações terem desenvolvido conceitos análogos muito antes disso, levamos um tempo para chegar ao zero moderno.

Historicamente, esse número abrangeu os seguintes aspectos: marcador de posição, ponto de referência e conceito de vazio.

Em um sistema numérico posicional, o zero permite representar valores grandes sem precisar criar novos símbolos, servindo para marcar a posição. Por exemplo, compare o sistema atual, que utiliza os numerais arábicos, ao romano. Se quisermos representar cinco, cinquenta, quinhentos e cinco mil, escrevemos

Observe que, com apenas dois símbolos, é possível representar números com diferentes potências de dez, pois a posição indica o valor de cada ordem, mesmo quando ela está “vazia". Agora compare com o sistema romano

Note que, sem o zero, surge a necessidade de muitos caracteres, tornando o sistema mais difícil de interpretar à medida que os números aumentam. Assim, o uso desse número como marcador de posição foi um dos principais aspectos desenvolvidos por diversas civilizações.

O zero também foi concebido em múltiplos contextos como ponto de referência, seja na reta real ou em situações cotidianas, como em dívidas. Há registros, por exemplo, de um símbolo representando o piso térreo em construções egípcias, separando níveis acima e abaixo, funcionando como referência.

Além disso, o zero pode representar o vazio, a ausência de algo, muitas vezes relacionado a noções filosóficas ou religiosas em algumas sociedades.

Diversas civilizações possuíam algum tipo de “zero”, ainda que incompleto. Os babilônicos, por exemplo, o representavam como marcador de posição em 300 a.C.; os chineses possuíam um conceito de vazio bem definido dentro do seu sistema numérico; já os egípcios utilizavam um símbolo que separava direções (uma “positiva” e outra “negativa”) há pelo menos quatro mil anos.

Os maias também desenvolveram um zero “completo”, assim como os indianos, devido à sua contagem do tempo baseada em três calendários diferentes. O sistema numérico maia, de base 20, possuía símbolos para zero, um e cinco. Apesar de sua complexidade, esse sistema facilitava os cálculos relacionados a cerimônias religiosas, eventos públicos, entre outros.

Diante desses exemplos, todos tinham alguns pontos em comum: o zero era usado como marcador de posição ou para representar o vazio, mas não como um número a ser manipulado. Desenvolver operações com zero foi um grande avanço, pois exigiu reconhecer que há uso em “contar o nada” e tornar esse “nada” um número.

Brahmagupta foi o primeiro a tratar o zero como número em seu texto Brāhmasphuṭasiddhānta, do século V d.C. Entre suas contribuições, estabeleceu propriedades fundamentais: a soma de um número com zero resulta no próprio número, a multiplicação por zero resulta em zero e a divisão por zero é indefinida. Além disso, introduziu a ideia de inverso aditivo (todo número a possui um oposto −a tal que a + (−a) = 0).

Essa abordagem permitiu o avanço em muitas áreas da matemática. Por exemplo, como se definiria uma derivada sem o zero? Ou ainda, como você programaria um computador sem usar o sistema binário como base?

O conceito de zero continuou a ser estudado na Índia, chegando a Bagdá e ao mundo islâmico por volta de 773 d.C. A partir daí, por meio da ocupação da Península Ibérica e do comércio no Mediterrâneo, foi gradualmente introduzido na Europa, sendo popularizado por Fibonacci e Nemorarius.

Apesar de representar o nada, o zero está longe de ser insignificante. Ele percorreu um longo trajeto até chegar à forma como o conhecemos hoje, e a matemática não seria a mesma sem ele.

Referências

1. FLYER, A. Who Invented Zero? A Journey Back in Time, mathnasium. Disponível em: https://www.mathnasium.com/math-centers/portwashington/news/who-invented-zero-journey-back-time.

2. FRY, H. What is Zero? Getting Something from Nothing - with Hannah Fry. YouTube, 2016. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=9Y7gAzTMdMA.

Um anel de guardanapos, usado comumente em restaurantes, esconde um segredo: ele é um objeto matematicamente intrigante, pois é possível construir, com a mesma quantidade de material do anel de mesa, um anel que circunda o planeta terra inteiro.

Parece contraintuitivo, mas a quantidade de material para fazer um anel de mesma altura independe de seu raio, podendo ser este dezenas de vezes maior que o do sistema solar.

Os princípios originais dessa noção contraintuitiva datam no início do século XVII, quando Francesco Cavalieri nasce na Itália e torna-se discípulo de Galileu Galilei.

Em 1619, candidatou-se para a cadeira de Matemática em Bolonha, no entanto, foi considerado muito jovem para a posição. Em decorrência dessa recusa, somente em 1635 ele publica sua obra mais conhecida: “Geometria indivisibilibus continuorum nova” (Nova Geometria dos Indivisíveis Contínuos), na qual desenvolveu a ideia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas. Uma região, por exemplo, pode ser pensada como sendo formada por segmentos “indivisíveis”, e um sólido pode ser considerado como composto de regiões com volumes infinitesimais. O raciocínio utilizado é o mesmo do de Arquimedes, mas a diferença está na maneira como os dois demonstraram tal pensamento.

Em sua obra, portanto, Cavalieri desenvolve um método engenhoso para calcular áreas e volumes, chamado princípio de Cavalieri. Se dois sólidos têm a mesma altura e, em cada “fatia” horizontal, possuem a mesma área, então eles têm o mesmo volume. E esse princípio baseia o paradoxo do anel.

Para entender melhor esse princípio, imagine 2 baralhos sobre uma mesa. Se observados de maneira frontal, veremos 2 retângulos com alturas iguais, porém, se deslizarmos as cartas de uma das pilhas na horizontal de modo a formar um paralelogramo de mesma altura, evidentemente o baralho continuará a possuir o mesmo volume, pois nada foi retirado ou acrescentado, somente sua forma mudou.

O volume não muda, pois, se “cortarmos” ambos os baralhos em uma mesma altura, as fatias - representadas pelas cartas - terão sempre a mesma área. Essa é uma forma ilustrativa de representar o princípio de Cavalieri.

E como isso se aplica ao anel de guardanapos?

Primeiro, precisamos compreender como um desses anéis é formado e, então, bastará provar que as áreas das seções de 2 anéis de mesma altura e raios quaisquer possuem a mesma área.

Um anel de guardanapo é formado a partir de uma esfera qualquer, na qual atravessaremos um cilindro pelo seu interior, removendo as partes por onde ele passou.

Desse modo, as seções do sólido formado serão círculos e, para encontrar a área de uma seção qualquer, somente é preciso conhecer o raio de fora (X) e o raio de dentro (Y) do anel.

Com o teorema de Pitágoras e um pouco de geometria, é possível encontrar tais medidas. A visão lateral do anel é a melhor para calcular esses valores, de modo que a altura da seção em relação ao centro é a, o raio da esfera é denotado por R e o “raio de fora” (X) será um dos catetos do triângulo retângulo formado. Logo,

Paralelamente, pode-se obter o “raio de dentro” (Y) equivalente ao raio do cilindro, a partir do triângulo retângulo de catetos Y e h, de modo que h seja a metade da altura do cilindro, portanto constante, e

Logo, teremos

Dessa maneira, a área A de uma seção qualquer do anel é dada pela igualdade

Observa-se, portanto, que o raio da esfera formadora do anel não influencia na área de uma seção qualquer do sólido. Assim, tais áreas independem do raio da esfera e de qualquer anel de guardanapos com altura h, formado a partir de uma esfera qualquer. Consequentemente, possuirá o mesmo volume ao da esfera de raio h, dado por

Em suma, esse é um resultado direto do princípio de Cavalieri, indicando ser possível calcular o volume de um sólido qualquer ao dividi-lo em diversas fatias paralelas com uma altura infinitamente próxima de zero, as quais, quando somadas, resultam no valor esperado. Em particular, aplicamos esse raciocínio ao fascinante paradoxo do anel de guardanapos.

Referências

1. O paradoxo do anel, Tem Ciência. Disponível em:
youtube.com/watch?v=XE38RIoCZvM&list=PLrTXbe8zS4r8oI37uuT_gYt3ijp57dIg0&index=14

2. J. J. O’Connor; E. F. Robertson. Bonaventura Francesco Cavalieri, MacTutor History of Mathematics archive. Disponível em:
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cavalieri/