Sequência e Matriz de Fibonacci

Matemática Mais Avançada #001

Antes de se tornar popularmente conhecida, a sequência de Fibonacci já havia sido estudada pelo matemático indiano Pingala no livro Chandaḥśāstra, por volta de 450 a.C. Apesar de ter sido descoberta nessa época, a fórmula e o conceito eram diferentes do que conhecemos hoje. Além disso, os gregos, por volta de 200 a.C, possuíam conhecimento da proporção áurea, mas sem saber sua possível relação com a sequência.

O famoso Número de Ouro, também chamado de proporção áurea, é considerado um padrão de harmonia visual agradável aos olhos humanos. Um exemplo disso é a obra Monalisa de Leonardo da Vinci, que segue essa proporção dada por

Proporção áurea e Mona Lisa. Fonte: Michael Paukner, Flickr

\(\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,6180339\dots\)

A sequência de Fibonacci que conhecemos hoje foi desenvolvida pelo matemático italiano Leonardo Fibonacci no século XII, sendo demonstrada matematicamente no livro Liber Abaci de Fibonacci (1202). Inicialmente, surgiu a partir de um problema populacional ao tentar contar a quantidade de casal de coelhos ideais (não realista), seguindo as regras abaixo.

1. No primeiro mês, temos um casal de coelhos recém-nascidos (um macho e uma fêmea).

2. Eles levam exatamente um mês para crescer e atingir a maturidade sexual.

3. A partir do segundo mês, já adultos, esse casal gera um novo casal de filhotes todo mês.

4. Por serem coelhos teóricos e ideais, não possuem problemas genéticos e são considerados imortais.

5. O ciclo se repete com os novos casais.

Cenário de coelhos ideais. Fonte: Autor.

Para resolver esse problema foi necessário criar uma fórmula matemática que contasse os casais, surgindo então a sequência: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…. também escrita pela fórmula de recorrência:

\(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\)

Existem algumas variações da fórmula acima que permitem o cálculo fechado sem depender de termos anteriores, como a fórmula de Binet, que faz o uso da proporção áurea:

\(F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right)\)

Ou sua versão expandida com binômio de Newton:

\(F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-k} \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^k (1 - (-1)^k)\)

A sequência de Fibonacci possui uma propriedade interessante que mostra sua relação com o Número de Ouro: quando pegamos um termo qualquer da sequência e o dividimos pelo seu antecessor obtemos um valor que se aproxima de φ. Nesse sentido, se aplicarmos limite tendendo ao infinito podemos escrever que

\(\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi\)

Podemos também visualizar essa relação a partir da geometria analítica. Se utilizarmos os números da sequência como coordenadas de pontos consecutivos, como (1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 5), (5, 8), (8, 13)..., podemos calcular o coeficiente angular m do segmento de reta que une dois desses pontos.

\(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)

Assim, à medida que avançamos na sequência, observamos que m tende cada vez mais ao valor de φ ≈ 1,61803…

Já a matriz de Fibonacci, é uma matriz quadrada de ordem 2×2, cujos elementos são 1, 1, 1 e 0, e possui uma propriedade em comum com sua sequência. Toda vez que a elevamos a um expoente n (com n sendo a posição de um número na sequência), geramos uma parte da sequência e descobrimos qual é esse número

\(\begin{bmatrix} F_{n+1} & F_n \\ F_n & F_{n-1} \end{bmatrix}\)

Por exemplo, ao pegarmos a matriz inicial e elevarmos a n = 4 descobrimos que o quarto termo da sequência de Fibonacci é igual a 3 e geramos o trecho (..., 2, 3, 5…).

\(A^4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^4 = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\)

Além disso, podemos analisar a matriz de Fibonacci no contexto da Álgebra Linear. Ao estudarmos seu comportamento quando multiplicada por um vetor não nulo v, buscaremos os valores de um escalar α que satisfaçam a equação de autovalores e autovetores:

\(\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} v = \alpha v &\iff \left( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \alpha \end{bmatrix} \right) v = 0 \\ &\iff \begin{bmatrix} 1-\alpha & 1 \\ 1 & -\alpha \end{bmatrix} v = 0 \end{aligned}\)

Para possuir uma solução em que o vetor v seja não nulo, observe que o determinante da matriz resultante deve ser igual a zero. Assim, calculando o determinante, obtemos a seguinte equação característica:

\(\alpha^2 - \alpha - 1 = 0\)

Cujas soluções são:

\(\alpha = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)

Isso gera dois autovalores distintos: α ≈ 1,618, correspondendo exatamente ao Número de Ouro (φ ), e α ≈ -0,618. Como estamos analisando o crescimento positivo da sequência de Fibonacci, olharemos apenas o autovalor positivo dominante, concluindo que α = φ.

Esse resultado indica que cada termo tende a ser o anterior multiplicado pela proporção áurea conforme o crescimento da sequência. Por exemplo, ao multiplicarmos 5 por φ, obtemos aproximadamente 8,09, um valor bem próximo do termo seguinte da sequência, mostrando uma boa precisão.

Dessa forma, a matriz de Fibonacci evidencia que o comportamento da sequência vai muito além da aritmética básica, conectando-se profundamente com conceitos de Álgebra Linear, como autovalores e autovetores.

---

Referências:

1. BITZ,J. The Fibonacci Matrix. Youtube. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=RPbAqlrVp5Y.

2. POSSANI,C. Matriz e sequência de Fibonacci. Youtube. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=gxVT-LsM2mg&t=62s.

3. SANTOS, A. A.; ALVES, F. R. V. A fórmula de Binet como modelo de generalização e extensão da sequência de Fibonacci a outros conceitos matemáticos. C.Q.D. - Revista Eletrônica Paulista de Matemática, v. 9, 2017. Disponível em: https://www.fc.unesp.br/Home/Departamentos/Matematica/revistacqd2228/v09a01-a-formula-de-binet-como-modelo.pdf.